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Zénon raisonne par l’absurde

 

Zenon

 

 

 

« Zénon a sur le mouvement quatre raisonnements, qui ne laissent que d'embarrasser ceux qui tentent de les réfuter » écrivait Aristote il y a approximativement vingt-cinq siècles.
(La Physique VI:9, 239b10).

 

 

Zénon et les paradoxes


Quelques siècles avant Jésus-Christ, des philosophes grecs comme Héraclite, Parménide ou Zénon d'Elée s'interrogeaient déjà sur la nature du temps, de l'espace et du mouvement.

L’auteur présocratique Zénon d’Élée (c. -490 – c. -4301) est l’introducteur en philosophie de ce que l’on peut appeler « l’horizon infini des opérations ».
Zénon est connu pour deux choses :
1. Un livre d’arguments contre la pluralité, entreprenant de prouver que l’hypothèse de la pluralité oblige à affirmer ensemble des paradoxes, et dont Platon porte témoignage dans le Parménide (LM D4)

2. Un groupe de 4 arguments contre le mouvement, qui sont paraphrasés et réfutés avec soin et génie dans la Physique d’Aristote (LM D14-16, 18 ; BK A25).

Chez son maître Parménide (c. -515 – c. -440), on trouve la première utilisation philosophique rigoureuse du raisonnement par l’absurde ; mais Zénon utilise le raisonnement par l‘absurde systématiquement, non seulement dans la philosophie, mais aussi dans les mathématiques.
Pourrions-nous compter jusqu’à l’infini ? Comment raisonner en face d’une série d’événements qui ne prend jamais fin ?

Il applique ce raisonnement par l’absurde pour étudier la possibilité d’itérer sans fin des opérations.

Partant de l’hypothèse que la matière comme le temps constitue une grandeur continue, que toute grandeur continue se divise en d’autres grandeurs continues, hypothèse partagée par la géométrie grecque, il a produit un certain nombre d’arguments visant à prouver qu’il est impossible qu’il y ait du mouvement.

Les arguments de Zénon ont un sens bien déterminé, précisément. Il s’agit de
de bons arguments, concluant qui prennent la forme de preuves par l’absurde, et qui réfutent par l’absurde un avis contraire.

Il formule des paradoxes portant sur le mouvement, en particulier le paradoxe d’Achille » et le paradoxe de la Dichotomie : division en deux moitiés égales.

Ils nous enseignent que pour qu’un mouvement s’accomplisse, il faut que s’achève une série d’étapes théoriquement inachevables. Le mouvement est donc prouvé impossible.

La forme de ces paradoxes est bien connue, par exemple, pour qu’un objet accomplisse un mouvement, il doit parcourir la moitié d‘une distance, puis la moitié de la distance restante, puis la moitié de ce qui reste, etc. Ainsi, un objet mobile ne peut jamais arriver à sa destination, car il lui reste toujours une distance restante à parcourir.

 

Paradoxe d’Achille et la tortue

Dans le livre II de la Physique, Aristote rapporte ainsi l'explication donnée par Zénon :
« Le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide, car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d'où est parti de sorte que le plus lent a toujours quelque avance.»

Le paradoxe d’Achille est célèbre. Dans ce paradoxe formulé par Zénon d’ Elée, il est dit qu’un jour le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, beau joueur, il accorde gracieusement à la tortue une avance de cent mètres.
Zénon énonce que le rapide Achille n’a jamais pu rattraper la tortue, comme le cite Aristote.

Achille ne saurait rattraper une tortue à la course, si la tortue a de l’avance. Car supposons qu’elle se trouve au début de la course au point P. Achille ne saurait la rattraper sans d’abord parvenir jusqu’au point P. Mais le temps qu’Achille y parvienne, la tortue aura continué d’avancer.
Achille ne peut donc pas rattraper la tortue.
Le temps qu’Achille parcoure les 100 mètres ; la torture parcourt elle 50 m
Achille parcourt les 50 m restant, mais la tortue parcourt 25 m.
Achille parcourt les 25 m restant, mais la tortue parcourt 12.5 m
Etc

 

Zenon paradoxe

 

Plus concrètement, le temps qu’Achille comble son retard de cent mètres, la tortue aura parcouru, disons 10 mètres. Achille doit, pour rattraper la tortue, parcourir ce nouveau mètre, mais une fois ce mètre atteint, la tortue aura encore une fois pris un peu d’avance, et ainsi de suite. Ainsi, Achille aux pieds rapides n’aura jamais pu rattraper la tortue. Le raisonnement de Zénon paraît impeccable et irréfutable; pourtant, nous savons tous que c’est Achille qui a gagné la fameuse course !

Selon la philosophie de Parménide, la réalité est une et immuable, sans changement, et tout changement ou mouvement ne sont que des illusions de nos sens.
En tant que disciple, Zénon a écrit un livre plein de paradoxes qui défendent la philosophie de Parménide. Ce livre a toutefois disparu, tout ce que l’on connait de ces arguments à l’encontre du mouvement nous est reporté par Aristote (IVe siècle avant J.-C.) dans le Livre VI de La Physique.

Dans cet ouvrage, Aristote dévoile ses propres arguments dans le but d’expliquer pourquoi « Zénon fait un faux raisonnement » et en quoi « constitue l'erreur de raisonnement de Zénon». Il ne présente pas les arguments de Zénon contre le mouvement comme étant des « paradoxes ». Et ce point de vue d’Aristote fut largement accepté jusqu’à la fin du XIXe.

Entre temps, des grands philosophes comme Descartes ont tenté de résoudre le paradoxe.
Au 19e siècle, on présente les arguments de Zénon en tant que « paradoxes », on valide la contradiction et on cherche de vraies solutions. Ces paradoxes continuent à être le sujet de plusieurs livres et thèses. Durant ces dernières décennies, ils ont été régulièrement le sujet de discussion dans des revues ou ouvrages académiques.

 

Le paradoxe de la flèche

Si toute chose, disait-il, doit toujours être en mouvement ou en repos, et si elle est au repos quand elle est dans un espace égal à elle-même, tout corps qui se déplace étant à chaque instant dans un espace égal à sa longueur, la flèche qui nous semble voler, est immobile.

Disons-le autrement : nous imaginons une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Si l’instant est trop court, alors la flèche n’a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Maintenant, pendant les instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut se déplacer : le mouvement est impossible.
Ce paradoxe a connu un regain de popularité avec la physique quantique, qui montre une incompatibilité entre la détermination du mouvement et la détermination de la position des objets qu’elle étudie.

Selon Aristote :
Mais Zénon a fait un raisonnement faux : « (a) Si toute chose, dit-il, doit toujours être soit en mouvement, soit en repos quand elle est dans un espace égal à elle- même, et (b) si tout corps qui se déplace est toujours pendant chaque instant dans un espace égal (c) il s'ensuit que la flèche qui vole est immobile. » (d), Mais c'est là une erreur, attendu que le
temps n'est pas un composé d'instants, c'est-à-dire d'indivisibles. »

[Aristote, La Physique (fragments VI:9, 239b5 et 239b30); traduit par Barthélémy Saint-Hilaire (1862) : Tome 2, Livre VI: Chapitre XIV].

L’argument d’Aristote repose sur un concept du temps comme un élément indivisible.

 

 

Le paradoxe de la pierre lancée sur un arbre

Le premier paradoxe de Zénon, et peut-être bien le plus connu, concerne l’impossibilité qu’une pierre lancée contre un arbre puisse atteindre cet arbre. Il est exposé et commenté dans La Physique d’Aristote. Zénon se tient à huit mètres d’un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l’arbre. Avant que la pierre ne puisse atteindre l’arbre, il doit traverser la moitié des huit mètres qui le séparent de l’arrivée, en un temps non nul. Une fois ce trajet effectué, elle doit parcourir la moitié du trajet restant, et ceci se fait encore une fois en un temps non nul. Et ainsi de suite : la pierre doit, au fil de sa progression, parcourir la moitié du trajet restant en un temps non nul, Zénon en conclut que la pierre ne pourra frapper l’arbre qu’au bout d’un temps infini, c’est-à-dire jamais.

 

Zénon dans le monde antique

Ces problèmes, dans l’Antiquité, ont entraîné deux réponses : la réponse atomiste et la réponse « potentialiste ».

La réponse atomiste était celle de Leucippe (c. -460 – -370), Démocrite (c. -460 – -370), Épicure (-341 – -270), et Diodore Cronos (c. -340 – -284). Cette réponse atomiste consiste à nier l’horizon infini de l’opération. Les atomistes affirment, que la grandeur totale est composée de plus petites grandeurs indivisibles (des « atomes », des choses qui ne peuvent être coupées), et donc, Zénon ne peut diviser les distances à l’infini. Il existe donc une dernière étape après laquelle Achille a rattrapé la tortue, et la pierre a touché l’arbre.
La réponse potentialiste développée chez Aristote (-384 – -322), consiste à admettre la possibilité d’une division possible à l’infini. On pourrait toujours diviser un continu sans trouver fin à cette division, mais nous ne saurions le diviser toujours qu’un nombre déterminé de fois.
La course d’Achille est une et non divisée, bien qu’elle soit divisible, ce qui signifie qu’on peut trouver en elle un nombre arbitraire, mais toujours déterminé en acte de divisions.

Il y en a eu bien sûr des philosophes comme Diogène de Sinope, qui se sont levés et ont dépassé les tortues pour réfuter l’argument.

Ces réponses ne sont pas satisfaisantes.

La réponse atomiste est de refuser les conditions de départ du problème. Si la réponse atomiste et la méthode atomiste sont la bonne réponse et la bonne méthode, devrons-nous penser alors qu’Aristote, Galilée, Descartes, Newton, et les inventeurs de l’Algèbre au moyen âge n’ont rien compris en cherchant à analyser ce paradoxe ?

La réponse atomiste abdique d’emblée, et abandonne la bataille et se montre indifférente à la question du mouvement, et du temps.

La réponse aristotélicienne est originale, et efficace, mais difficile à prouver, et demeure un point de vue philosophique. Cette réponse est tombée en désuétude bien sûr.

 

Zénon et les solutions de notre époque

Bien sûr, Zénon pouvait vérifier par lui-même qu’une pierre peut frapper un arbre, ou qu’une flèche se déplace. Il serait naïf de croire qu’il contestait que ce soit possible.
Si on en croit Aristote, Zénon nie fondamentalement le mouvement. Il ne nie pas son apparence, puisqu’on peut tous le constater par nous-mêmes, mais sa réalité.
La question devient : pourquoi, alors que je vous prouve par la logique que le mouvement n’est pas possible, on peut malgré tout l’expérimenter ?

On peut voir, dans ces paradoxes, un doute sur la façon de manipuler l’infini, et le divisible. Dans le cas du paradoxe d’Achille, c’est l’infiniment petit qui est en cause... Pensée également partagée par Démocrite, l’inventeur de la notion d’atome.
Depuis que les paradoxes de Zénon furent énoncés, beaucoup de solutions ont été proposées, mais aucune n’a réellement réussi à résoudre tous les aspects paradoxaux des arguments de Zénon : soit la solution proposée résout un (ou plusieurs) argument(s), mais en laisse toujours (au moins) un de côté, soit la solution proposée mène vers d’autres paradoxes.

En 1913, le philosophe britannique Bertrand Russel écrit :
« Dans ce monde capricieux, rien n'est plus capricieux que la gloire posthume. Une des victimes les plus notables du manque de jugement de la postérité a été Zénon d’Élée. Ayant conçu quatre arguments, tous immensément subtils et profonds, la crasse des philosophes qui ont suivi
n’a guère jugé qu'il ne valait pas mieux qu'un ingénieux jongleur, et que ses arguments était plus qu'une série de sophismes. »

Après deux mille ans de réfutation ininterrompue, ces sophismes furent rétablis, et placés au fondement d'une renaissance mathématique, par un professeur allemand qui ne pensait pas à Zénon. Weierstrass, en bannissant les infinitésimaux, a finalement montré que nous vivons dans un monde immuable, et que la flèche, à chaque instant de son vol, est véritablement au repos. La seule erreur que fit probablement Zénon est de conclure (si vraiment il en a conclu ainsi) que, puisqu'il n'y avait aucun changement, il fallait que le monde fût dans le même état d'un instant à un autre. Cette conséquence n'est pas du tout valide, et c'est en ce point que le professeur allemand est en progrès sur le Grec ingénieux. »

Dans son étude des paradoxes de Zénon, Bertrand Russell supposait que le temps est u ne succession non pas d'instants de durée nulle, mais de petits intervalles de temps indivisibles, des "atomes" de temps.

Les paradoxes qui portent le nom de Zénon se basent sur une notion mathématique que notre philosophe ne pouvait connaître : celle des séries convergentes.
En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme finie.

En mathématique moderne, le paradoxe est résolu en utilisant le fait qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.
Ce paradoxe fonctionne en découpant un événement d’une durée finie (Achille rattrape la tortue) en une infinité d’événements de plus en plus brefs (Achille fait 99 % de la distance manquante).


Ensuite, l’erreur mathématique introduite dans le paradoxe consiste à affirmer que la somme de cette infinité d’événements de plus en plus brefs tend vers l’infini, c’est-à-dire qu’Achille n’arrive jamais à rattraper la tortue.

Admettons que la première étape a pris 10 secondes. Alors, la suivante a pris 0,1 seconde, puis l’étape suivante a pris 0,001 seconde, etc.
On obtient la série suivante : 10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001 = 10,10101 secondes. Ce paradoxe montre donc simplement qu’Achille ne peut pas rejoindre la tortue en moins de 10,100 secondes, et non pas qu’il ne peut jamais rejoindre la tortue.
Ce paradoxe peut être résolu en appliquant le principe de série convergente.

La physique quantique va elle aussi dans ce sens en admettant l’existence d’une unité de temps et d’une unité de taille toutes deux indivisible. Les effets quantiques imposent, dans la théorie des cordes une taille minimale de l'ordre de 10-34 mètres. Ce quantum irréductible de longueur est une nouvelle constante de la nature, aux côtés de la vitesse de la lumière et de la constante de Planck (le seuil d'énergie minimum que l'on puisse mesurer sur une particule). Le Temps de Planck = 10-43 secondes. C'est la plus petite mesure de temps à laquelle nous puissions avoir accès, au-delà de cette limite, les lois physiques cessent d'être valides.
Selon ces approches, Zénon ne peut pas découper à l’infini.

La science a bien avancé depuis Zénon, mais ces paradoxes demeurent, car nous n'avons toujours pas de réponse à la question cruciale : le temps est-il discontinu ou continu?

 

 

Références

Dumont, Jean-Paul (éd.), Les écoles présocratiques, trad. par Daniel Delattre, Jean- Paul Dumont et Jean-Louis Poirier, folio/essais, Gallimard, 1991.

Aristote, Catégories. Sur L’interprétation, Organon I-II, trad. du grec, annot. et introd. par Michel Crubellier, Catherine Dalimier et Pierre Pellegrin, GF Flammarion,2007.

Brochard, Victor, Études de philosophie ancienne et de philosophie moderne, éd. établie et introd. par Victor Delbos, Félix Alcan, Paris 1912.
— « Les arguments de Zénon d’Élée contre le mouvement », Compte rendu de l’Académie des sciences morales, 29 (1888), p. 555-568.

McKirahan, Richard, « La dichotomie de Zénon chez Aristote », in Qu’est-ce que la philosophie présocratique ?, What is Presocratic Philosophy ?, sous la dir. d’André Laks et Claire Louguet, trad. de l’anglais par Claire Louguet, Presses Universitaires du Septentrion, Lille 2002, p. 465-496.

Cajori, Florian, « The History of Zeno’s Arguments on Motion. Phases in the Development of the Theory of Limits », The American Mathematical Monthly, 22 (1915),p. 1-6, 38-47, 77-82, 109-15, 143-49, 179-86, 215-20, 253-58, 292-97.

Badiou, Alain, L’immanence des vérités, L’Être et l’événement. 3, Fayard, 2018.

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